PST分解中継の関連で、Niwaさんがエタロンのことについて記述してくれていました。



なんかよくわからないけど、エタロン祭りです。今日は昔「P.S.T. (その5): のエタロンの考察」で説明したエタロンでの光の折り返し回数について、式で書いてみます。

太陽望遠鏡で使われているエタロンの特性は、(光の位相を考えない)限定された状況下なら簡単な四則計算で求めることができます。エタロンのモデルとして、2枚の鏡が距離を置いて向かい合わせに平行に置かれている状況を考えます。光の振幅を\(E\)と書きます。
etalon
上記図のように、エタロン周りの光を定義します。\(E\)は光の振幅なので、2乗したものが光の強度になります。\(E_\mathrm{in}^2\)がエタロンに入ってくる太陽光の強度を表し、\(E_\mathrm{a}^2\)はエタロン内部の光の強さ、\(E_\mathrm{out}^2\)が接眼部に出てくる光の強さになります。
\[\begin{eqnarray}E_\mathrm{a}  &=&  t_1 E_\mathrm{in} + r_1 E_\mathrm{d}\\ E_\mathrm{b}  &=& E_\mathrm{a} \\ E_\mathrm{c}  &=& r_2 E_\mathrm{b} \\ E_\mathrm{d}  &=& E_\mathrm{c} \end{eqnarray}\]\[\begin{eqnarray}E_\mathrm{ref}  &=& t_1 E_\mathrm{d} + r_1 E_\mathrm{in} \\ E_\mathrm{out}  &=& t_2 E_\mathrm{b} \end{eqnarray}\]これを解くと、
\[\begin{eqnarray} E_\mathrm{a} = E_\mathrm{b}  &=& \frac{t_1}{1 - r_1 r_2} E_\mathrm{in}\\ E_\mathrm{d} = E_\mathrm{c}  &=& \frac{t_1 r_2}{1 - r_1 r_2} E_\mathrm{in}\\ E_\mathrm{out} &=& \frac{t_1 t_2}{1 - r_1 r_2} E_\mathrm{in} \end{eqnarray}\]となります。

この式は光の位相を考えない簡略化された式ですが、ここからでもいろいろなことがわかります。簡単にするためにさらに、\[r_1 = r_2 = r\]\[t_1 = t_2 = t\]としてしまいましょう。2枚の鏡を同じものを使うということです。この場合式はもっと簡単になって、\[E_\mathrm{a} = E_\mathrm{b}  = \frac{1}{t} E_\mathrm{in} \]\[E_\mathrm{out} = E_\mathrm{in} \] となります。理由は鏡の反射率と透過率には
\[r^2 + t^2 = 1 \] という関係があるからです。(ここでは鏡には反射と透過以外にロスはないと仮定しています。)

この式の物理的な意味は、2枚の同じ特性の鏡を平行に置いた場合
  • 入ってきた光は全て通り抜ける
  • \(t<<1\)なので鏡の間の光の振幅は\(1/t\)倍に、強度は\(1/t^2 = 1/T\) (\(T=t^2\): 光の強度透過率)になる
という2つのことが言えます。さらに、近似的にはこの強度の増加比がエタロン内部での光の折り返し回数そのものです。
  • 例えば、光（の強度）を90%反射し10％透過する鏡を使うと、1/T=10となるので、10回光が折り返すエタロンとなります。
  • 例えば、光（の強度）を99%反射し1％透過する鏡を使うと、1/T=100となるので、100回光が折り返すエタロンとなります。
さて、これだけではどれだけの波長幅を通すとかまでは求められません。これを求めるには光の位相をきちんと考えて識を解かなければいけません。ちょっと面倒になるので、これはまた今度にしたいと思います。


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