ここ最近ずっと基本的なことを色々考えていました。とりあえずはタイトルの通り、なぜ望遠鏡を使うと星がたくさん見えるのかを、だいぶん理解できてきたので、簡単にですが一度まとめておきます。


まず最初は望遠鏡で恒星が見えやすくなるわけからはじめます。見やすさということなので、恒星と背景のコントラスト比で考えます。Sをシグナル（恒星の明るさ）として、Nをノイズ（背景の明るさ）とします。

まずはSのシグナルから考えます。
  1. 恒星は点光源のため面積がありません。だからどれだけ倍率を上げても恒星の面積は広がりません。
  2. 集光力は望遠鏡の対物レンズの面積に比例するので、口径を大きくすると口径の2乗に比例して明るくなります。人間の瞳孔は通常の活動下では直径2mm程度と言われています。夜の場合は瞳孔は大きくなっているので、その場合の瞳の直径を7mmとすると、例えば200mmの口径の望遠鏡を使うと集光力は(200/7)^2=816.3、すなわち約800倍もの光を見ることができます。これが直径60mmの望遠鏡だと(60/7)^2=73.4、すなわち約70倍です。集光力は口径の二乗で効くので、高々3倍ほどの口径の違いが10倍の集光力の違いと、随分と大きな差になりますね。
  3. 夜空を見上げた時に例えば3等星まで見えたとしましょう。この状態では4等星以下が見えないとすると、4等星が夜空の背景の明るさと同じということになります。都会では条件の良い時でもせいぜいこのくらい、田舎の暗いところに行くと4等星も余裕で見えると言ったところでしょうか。これ以降仮定として4等星が背景の明るさと同じと考えます。星は1等級違うと明るさが2.5倍変わります。5等級かわると2.5^5~100倍かわります。なので、4等級と同じ明るさの空の背景から見て0等級は100倍明るいというわけです。
上記のことを式で表します。

S: 4等級の星に比べた明るさx (口径/瞳の直径)^2

となります。繰り返しますが、点光源なので倍率は関係ありません。

次にNのノイズを考えます。
  1. 背景は面積を持つので、倍率をあげると明るさは倍率の2乗でその分薄まります。
  2. 集光力に関してはSと同じ扱いです。
  3. 4等級の星の明るさを基準と仮定したので、例えば背景が4等星と同じ明るさの場合1になります。それより明るい場合、暗い場合はそれぞれ係数をかけますが、ここでは簡単のため背景の明るさは4等星と同じとします。

N:  (口径/瞳の直径)^2 / 倍率^2

S/N = (4等級の星に比べた明るさx (口径/瞳の直径)^2) / ( (口径/瞳の直径)^2 / 倍率^2)
       = 4等級の星に比べた明るさ x 倍率^2

となり、コントラスト比は倍率のみで決まるようになります。

最初からS/Nに行ってしまうと、見通しが悪くなるので、まずはそれぞれのSとNに式に具体的な数値を入れて、その後S/Nを計算してみます。4等星に比べて100倍明るいマイナス1等星を見たとしましょう。

a. 裸眼
S: 100 x (7/7)^2 = 100
N: (7/7)^2 / 1^2 =1
S/N = 100

b. マイナス1等星を口径200mm、倍率50倍で見る場合
S: 100 x (200/7)^2 ~ 100 x 800 = 80000
N: (200/7)^2 / 50^2 ~800/2500 = 0.32
S/N = 80000/0.32 = 250000

c. マイナス1等星を口径60mm、倍率50倍で見る場合
S: 100 x (60/7)^2 ~ 100 x 70 = 7000
N: (60/7)^2 / 50^2 ~ 70 / 2500 = 0.028
S/N = 7000/0.028 = 250000

と口径が変わってもコントラスト比は変わりません。


ちょっと脱線して望遠鏡を使うと昼間でも星が見えるわけを考えます。背景の青空はマイナス4.7等星の金星を見ることができるという話があるので、-5等級としましょうか。0等星より100倍明るいということです。この状態で、例えば0等星を倍率50倍の望遠鏡で見ると、口径は関係ないのですが仮に入門用の60mmの口径を使います。瞳孔の直径は昼間なので2mmです。

S: 100 x (60/2)^2 = 100 x 900 = 90000
N: (60/2)^2 / 50^2 x (100 x 100) = 900 / 2500 / 10000 = 0.000036
S/N = 900000/0.000036 = 25

それでも背景に比べて25倍も明るくなります。うちの子供が持っている口径60mm、焦点距離800mmのSCOPETECHでいつも20mmのアイピースを使っているので、倍率は40倍になります。倍率は2乗で効くのですが、それでも25 x (40/50)^2 = 16と背景より16倍も明るく見えます。16は2.5の3乗くらいなので、計算に使った0等星より3等級くらい暗い星、すなわち頑張れば2等星くらいまでは見える計算になります。

実際に手持ちの望遠鏡でも昼間の星を見ることはできるので、興味がある方は是非試してみてください。でも、くれぐれも絶対に望遠鏡で太陽を見ないように。失明の恐れがあります。安全のため、建物の日陰などで観測すればより確実です。

下の写真はFS-60CBにASI240MCで昼間の星を見たときの一例です。わかりにくいですが、真ん中あたりに白い点が見えます。アルタイルです。実際にはアイピースでの眼視の方が見やすいです。

IMG_0616


しかしながら、一番の難しさは、その星を昼間に何の手がかりも無く視野に導入することだと思います。倍率が高いほどコントラストは高くなりますが、倍率が高いとその分視野に入れるのは逆に難しくなります。自動導入でも、そもそも北極星が見えないために極軸合わせが難しいので、そんなに簡単ではありません。もし昼間の月が明るい星の近くにあったりすると、目印になるので導入しやすいかもしれません。


もう一つ脱線です。CCDで恒星を見る場合を考えてみましょう。露光時間と感度は一定とします。上の説明から、コントラスト比は倍率のみに依存します。直焦点撮影の場合は倍率の代わりに、鏡筒もしくはレンズ側の焦点距離に依存します。倍率と焦点距離は比例関係にあるので、コントラスト比は焦点距離の2乗に比例します。HUQさんが以前コメントで言われていたことが、これにあたります。ここで難しいのが、広角でより恒星のコントラスト比を上げることです。センサーサイズの小さいものは安価に手に入りますが、同じ画角を得ようとしたら焦点距離の短いレンズを選ばなければなりません。一方、センサーサイズが大き場合は同じ画角を出すのに、より焦点距離の長いレンズにしなければならないので、その分コントラスト比が上がります。私が持っているASI224MCは1/3インチサイズ、対するHUQさんが持っているα7Sはフルサイズで、一辺で7倍くらいのサイズの差があります。同じ画角を出すのに、7倍くらいの焦点距離の差が出るので、2乗で50倍くらいのコントラスト比の違いがあります。4等級以上暗い星が見える計算なので、同じ画角だと流石にα7Sの方がはるかに星の数が多くなるはずです。


ちょっと脱線しましたが、次に望遠鏡で惑星が見えやすくならないわけを考えてみましょう。

恒星の場合との違いは、惑星は面積を持っているから、倍率をあげるとS（惑星の明るさ）の方も倍率の2乗で薄められ暗くなるのです。例えば、マイナス1等級の惑星を見たとしましょう。

a. 裸眼
S: 100 x (2/2)^2 = 100
N: (2/2)^2 / 1^2 =1
S/N = 100

b. マイナス1等星を口径200mm、倍率50倍で見る場合
S: 100 x (200/2)^2 / 50^2= 100 x 10000 / 2500 = 400
N: (200/2)^2 / 50^2 =10000/2500 = 4
S/N = 400 / 4 = 100

c. マイナス1等星を口径60mm、倍率50倍で見る場合
S: 100 x (60/2)^2 / 50^2 = 100 x 900 / 2500 = 36
N: (60/2)^2 / 50^2 = 900 / 2500 = 0.36
S/N = 36 / 0.36 = 100

と口径を変えようが、倍率を変えようが、見えやすさ（コントラスト比）という意味ではかわりありません。

これまでのことをまとめると、上の説明により

恒星: 倍率をあげるほど見えやすくなる。星の大きさは変わらない。口径を変えても見えやすくはならない。 
惑星: 倍率を上げても惑星の像は大きくはなるが 、同時に惑星自身が暗くなるので見えやすさは変わらない。

となります。では口径の効果はどこに出るのでしょうか?答えは明るさの絶対量に出ます。集光力は口径の2乗、すなわち望遠鏡の面積に比例します。なので、恒星、惑星ともにより明るくみえるようになります。口径を大きくしてもコントラスト比が変わるわけではありませんが、木星や土星、火星などはもともと夜空の背景の明るさに比べて十分明るいので、そもそもコントラスト比がいいのです。ところが惑星の場合は、さらに倍率を上げても見えやすくなるわけではありません。これは小さくしか見えない惑星をもっと大きくしようと思って、倍率をむやみにあげると暗くなって逆に見にくくなったという実体験を持つ方も多いのではないでしょうか?


ここまで書いたことはごくごく簡単に考えた場合で、夜空の明るさとの関係や、人間の感覚などを盛り込んだもっと実際に近い解析はこちらのページが詳しいです。私が書いた上の話は夜空の明るさが一定（というよりは、眼の感度の限界があまり効いてこないくらい明るい空という仮定が暗に入っています）という条件のもとで話しましたが、このページの言わんとしていることは、

  • 夜空が明るいところでは口径が大きくなっても限界等級にあまり変化はない。これは上で書いたことと一致します。
  • 夜空が暗くなればなるほど、大口径の効果が出てくる。言い換えると、目で見分けられる暗さの限界に近づいてくると、口径増加による絶対的な明るさが効いてくる。
  • 夜空が明るいところでは、倍率がそのまま限界等級をあげる。これも上で書いたことと一致します。
  • 夜空が暗くなればなるほど、倍率の効きが悪くなる。言い換えると、倍率をいくら上げても眼の感度に比べて絶対光量が足りないくらいの口径だと、見え方は改善しない。

ということです。

実は今回の文章は、一ヶ月くらい前に書いたもので、本当は「なぜ星雲が見えやすくなるのか?」というタイトルをつけていたのですが、先のページでも

"星雲星団にはこの話はそのまま当てはまらない、理屈では面積を持つのでコントラストは倍率に依存しないはずなのだが、実際には高倍率で見やすくなることがある"

などと書いてあるとおり、なかなか話は簡単ではないようで、どうやってまとめようかずっと悩んでいました。加えて、普通は露光時間を稼ぐために写真に撮るなどして相当見やすくするための画像処理のようなものが絡んでくるので、なかなか直感的に理解できないでいます。やっと最近真面目に撮影と画像処理をし始めたので、できるならきちんと理解したいと考えています。

今悩んでいることは、主に画像処理に関しては、
  • RAW画像の各ソフトでの読み込みに違いがあるのかどうか?
  • フラットフレームはどの程度まで実用として許容されるのか?
  • レベル調整の最適解はあるのか?
  • レベル調整で失われた（粗くなった）階調は、コンポジットで本当に補完されるのか?
  • ステライメージのデジタル現像は正しい処理方法なのか?もっといい方法もあるのではないか?
  • ステライメージとPhotoshopなど、ソフトをまたぐと階調はどのように保存され、どこが切られるのか?
  • 色調補正と、ホワイトバランスを取るということは相反するのではないか?

撮影に関しては、
  • 夜空の背景の明るさに比べて星雲の明るさが、少しでも勝っていれば、背景の明るさのオフセットを取り除き、階調差を増幅し、増幅した分の階調の粗さを埋めるために多数枚のコンポジットで補完すればいいはずなのだが、本当にそうなのか?
  • 光害防止フィルターは、どのタイプがどれくらい効くのか?必要なのか?暗いところに行ったほうがいいのか?
  • 冷却CCDの効果はどれくらいあるのか?すごく暗い天体は冷却CCDでしか撮れないのか? 

などです。色々参考になる先人の方の情報がホームページを探ると色々出てきますが、自分自身で納得するためには、まだまだ相当さまよいそうです。