先日、BKP200の焦点距離を短くしようとしてレデューサーを使った時にうまくいかなかったので、その理由を考えてみました。

そもそも手持ちのレデューサーは0.5倍と書いてあるのですが、焦点距離はについては何も書いてありません。レデューサーを手に持って指や物を見てみると、焦点距離数cmのただの凸レンズのようです。なぜレデューサーの焦点距離にあまり関係なく、必ず2倍になるのでしょうか?まずはこれを考えてみます。

 望遠鏡の対物レンズ（今回の場合ニュートン反射望遠鏡の主鏡）の焦点距離をf1、レデューサーの焦点距離をf2、2枚の合成焦点距離をf、2枚のレンズの間の距離をdとします。 合成レンズの式より合成焦点距離は

\[f = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - d}\]

と書くことができます。その際、レデューサーからセンサー面（合成焦点で合焦できる位置に置くと仮定）までの距離をb2とすると

\[b_2 = f - d_2\]

と書くことができ、d2は

\[d_2 = \frac{f d}{f_1}\]

と書くことができます。 証明は他のページに譲ります。

ここで手持ちの具体的な値を入れてみます。f1 = 800mm、f2を適当に50mmとし、dを最初の焦点位置からレデューサーの焦点距離だけ内側に置いたf1 - f2 = 750mmとします。すると

\[f = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - d} = \frac{f_1 f_2}{f_1 + f_2 - (f_1-f_2)} = \frac{f_1 f_2}{2 f_2} = \frac{f_1}{2} = 400\]

となり、ちょうど合成焦点距離が元の焦点距離800mmの0.5倍になります。これはレデューサーの焦点距離に関係なく、d = f1-f2とさえ置いてやれば成り立つ関係です。これが焦点距離を書かずに0.5倍レデューサーとだけ書いてある理由です。さてその際のb2ですが、

\[b_2 = f-d_2 = f-\frac{f d}{f_1} = f(1-\frac{d}{f_1}) = \frac{f_1}{2} (1-\frac{f_1-f_2}{f_1}) = \frac{f_1}{2} (1-1+ \frac{f_2}{f_1})\]
\[ = \frac{f_2}{2} = 25\,\rm{[mm]}\]

となり、レデューサーの焦点距離のちょうど半分になります。

これが問題でした。前回、レデューサーからセンサー面までの距離を5cmくらい取っていたからです。



実際、dを717mmから792mmまで変化させてfとb2を見てやると、fは300mmから700mmまで変化しますが、b2は31.2mmから8.3mmまでしか変化しません。すなわち、レデューサーを実際に置くことができる位置、期待したい焦点距離（0.5倍付近）を考えるとb2は、上の範囲くらいしか解がないということです。
（追記: 2020/1/4の記事で上記の刑についてグラフ化しています。）


 今手持ちの機材は以下の写真のようになっています。



なので、上記範囲に近づけるように適当に組み合わせて



というように変更しました。

その結果、無事に合焦するようになりました。